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核函数、带宽与距离

核函数决定“距离如何转成权重”，带宽决定“局部窗口有多大”。二者共同控制偏差—方差权衡，也是地理加权模型最重要的超参数。

1. 常用核函数

设距离为 \(d\)，带宽为 \(h\)：

\[w_{\text{Gaussian}}=\exp[-\tfrac12(d/h)^2],\]
\[w_{\text{bisquare}}=[1-(d/h)^2]^2\mathbf 1(d<h),\]
\[w_{\text{exponential}}=\exp(-d/h).\]

Gaussian 与 exponential 为无限支撑核，远处观测仍有很小权重；bisquare、tricube、boxcar 为紧支撑核，窗口外权重为零。

2. 固定与自适应带宽

  • 固定带宽：一个实际距离，适合采样密度相对均匀且距离单位有明确意义的研究。
  • 自适应带宽：通常是近邻数量，每个位置的实际距离阈值随密度变化，适合点位稀密差异明显的数据。

两者数值不能直接比较。bandwidth=30 在固定模式可能表示 30 km，在自适应模式则表示 30 个近邻。

3. 带宽选择

CV 偏向预测误差，AICc 同时考虑拟合与复杂度。应记录搜索区间、优化器、目标值和最优值是否落在边界。若最优值总在上界，局部结构可能很弱；若在下界，需警惕局部样本不足和过拟合。

from pygwrx import GWR

model = GWR(
    kernel="bisquare",
    bandwidth="cv",
    bandwidth_method="aicc",
    adaptive=True,
    bandwidth_range=(20, 80),
).fit(X, y, coords)

print(model.bandwidth_)

4. 每变量尺度

MGWR/MGTWR 会为不同变量估计不同尺度。大带宽通常表示接近全局效应，小带宽表示较局部变化，但解释前仍需检查系数稳定性、变量相关和带宽边界。

5. 特殊距离

  • GTWR/MGTWR：空间距离与时间距离组合；
  • SGWR/SGTWR：空间/时空邻近与属性相似度组合；
  • LGGWR：学习潜在度量；
  • GRGWR：基于图和机制区而非单纯平滑距离。

因此“带宽”在不同模型中不一定具有完全相同含义，比较模型时应先统一机制和单位，再比较数值。

6. 稳健报告

至少报告核函数、固定/自适应模式、距离度量、搜索方法与范围、最终带宽、目标函数、边界情况和敏感性分析。正式结论不应只依赖一个带宽设置。